代數系統

封閉

對於所有a,b屬於S，a*b也屬於S則稱(S,*)具有封閉性

結合

對於所有a,b,c屬於S，a*(b*c)=(a*b)*c，則稱(S,*)具有結合性

單位

存在E使得所有a屬於s，a*E=E*a=a，則E為(S,*)的單位元素

反

存在b使得a*b=b*a=E 則稱b為a的反元素

上述我覺得看看就好...這在離散很重要，而在這邊只要知道就好!

群：

含有封閉(closed)、結合(associative)、單位(identity)、反(inverse)

※只滿足封閉結合的稱為半群(semi group)

若有加上Commutative Group之性質為交換群(Abelian group)

(Z，+)，(R-{0}，x) 都為群(注意要是R沒有扣0即不是群)

(R^nxn，x)不是群(R^nxn是一個矩陣的意思)

(Z_n，+_n)為群，稱為模同餘群

環：

含有兩運算，首先外觀為(S，+，*)

成立條件為：

1.(S，+)為一交換群(注意這就是(S，+，*)中間的這個，如果現在換成(S，*，+)結果就會變成要檢查(S，*))

2.(S，*)為一半群(同理注意這就是(S，+，*)後面的這個，如果現在換成(S，*，+)結果就會變成要檢查(S，+))

3.若(S，*)具有交換性則為交換環

(Z，+， •)以及(R，+， •)以及(Z_n，+_n，•_n)均為交換環 (那個•大多代表著乘的意思)

(R^nxn，x)是環(不是交換環!)

體：

為一交換環，且還必須滿足乘法反!!

(R，+， •)及(Q，+， •)為體(Q為無理數)

(Z_n，+_n，•_n)是體 若且為若 n為質數(這個看看就好...太深了)