群 (group)
Def: 一集合 G,與二元運算 * (稱之為乘法),滿足:
    1. 封閉律:對任意 a, b [- G ('[-'代表屬於的意思),則 a*b [- G
    2. 結合律:對任意 a, b, c [- G,則 (a*b)*c = a*(b*c)
    3. 存在單位元素:存在 e [- G,使得對任意 g [- G,e*g = g*e = g
    4. 存在反元素:對任意 g [- G,存在 h [- G,使得 g*h = h*g = e
    符合以上四點之 (G,*),稱之為 "群"
    
交換群 (commutative group, abelian group)
Def: 當一群 (G,*),滿足:
    對任意 a, b [- G,a*b = b*a 時,
    (G,*) 稱之為交換群

環 (ring)
Def: 一集合 R,二元運算 + (加法),與二元運算 * (乘法),滿足:
    1. (R,+) 為交換群(加法單位元素記為 0)
    2. 乘法之封閉律:對任意 a, b [- R,則 a*b [- R
    3. 乘法之結合律:對任意 a, b, c [- R,則 (a*b)*c = a*(b*c)
    4. 存在乘法之單位元素:存在 1 [- R,使得對任意 a [- R,a*1 = 1*a = a
    5. 分配律:對任意 a, b, c [- R,則 (a+b)*c = a*c+b*c,c*(a+b) = c*a+c*b
    符合以上五點之 (R,+,*),稱之為 "環"

交換環 (commutative ring)
Def: 一環 (R,+,*),滿足:
    對任意 a, b [- R,a*b = b*a 時,
    (R,+,*) 稱之為交換環
    
體 (field)
Def: 一集合 F,二元運算 + (加法),與二元運算 * (乘法),滿足:
    1. (F,+,*) 為交換環
    2. 除了 0 之外的元素均存在乘法反元素:
       對任意 a [- G, a != 0,存在 b [- G,使得 a*b = b*a = 1
    符合以上二點之 (F,+,*),稱之為 "體"